Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы» Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы. Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения. Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В. Решение. Классический метод. Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра: i(t) = iпр(t) + iсв(t); u(t) = uпр(t)+ uсв(t), (1) где , а . 1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура: , откуда = 4 А. Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–) = 0]. 2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0. Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем: или ; i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А. Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости. 3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима. = 10 А; = 100 В; ; 4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+). iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0; . 5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0. ; (2) Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е. и , откуда ; (3) Подставляя (3) в (2), после решения получаем: ; ; ; Все полученные результаты заносим в таблицу. i1i2i3uLuCuR2
t = 0+1410400100
1001000100
410–6 0 0 0
–105–1050 106 106 –106
6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2: . Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим: или R2CLp2 + pL + R2 = 0. Откуда находим корни р1 и р2. р1 = –1127, р2 = –8873. 7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2. Для чего составим систему уравнений: ; или ; Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде: 4 = А1i + А2i; . После решения: А1i = –8,328 А, А2i = 12,328 А. для напряжения uL: ; . После решения: = 129,1 В, = –129,1 В. 8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону: i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t, а напряжение uL: uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.