ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ . Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке. Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования. Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом. Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать Пусть функция задана в двух точках и ее значения Посстроим интерполяционный многочлен первой степени Производная равна Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена (1) Величина называется первой разностной производной. Пусть задана в трех точках Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид Берем производную В точке она равна Получаем приближенную формулу (2) Величина называется центральной разностной производной. Наконец, если взять вторую производную получаем приближенную формулу. (3) Величина называется второй разностной производной. Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования. Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3). В дальнейшем нам понадобится следующая лемма. Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует такая точка что Доказательство. Очевидно неравенство По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство. Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма. Лемма 2. 1.Предположим, что Тогда существует такая точка , что (4) 2. Если то существует такая точка , что (5) 3. Когда то существует такая, что (6) Доказательство. По формуле Тейлора откуда следует (4). Если то по формуле Тейлора (7) где Подставим (7) в Получаем Заменяя в соответствии с леммою 1 получаем Откуда и следует (6). Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно). Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6): Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности. Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования. Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству (8) Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам (9) где - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям : (12) при этом (13) Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).