КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ. ПРОИЗВОДНЫЕ И КРАТНЫЕ КОРНИ

Допустим p = некоторый многочлен над k и . Значением многочлена p в точке a называется элемент поля k, равный . Он обозначается p(a)
является гомоморфизмом Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем
Если | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ;
В частности, если p ( a ) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный). наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже ( n -1)
Элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k [ x ] ( x - a + ), а каждый идеал в k[x] - главный, то I=(x-a)
Многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности. Число n называется кратностью корня a если | p , но не делит p . Предположим, что - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . При a b НОД( , ) =1, многочлен p делится на и потому deg ( p )
Делимость многочленов
Способ деления «углом» используется в арифметических действиях над коэффициентами. Он применяется к многочленам над любым полем k
Делимость многочленов позволяет для двух ненулевых многочленов p , s k [ x ] получить такие многочлены q и r =0( s делит p ), либо deg ( r )< deg ( s ), что p = q * s + r
Многочлен называется унитарным, если его старший коэффициент равен 1
Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД( p , q )= u * p + v * q
Возьмем многочлены u и v такие, что сумма w = u * p + v * q имела наименьшую степень. Можно при этом считать w унитарным многочленом
Производим деление с остатком: p = s * w + r . После чего находим: r = p - s * w = p - s *( u * p + v * q ) = (1- s * u )* p +(- s * v ) q = U * p + V * q
R должно равняться нулю
Докажем, что w | q . Так как W = ОНД( p , q )., то по определению w | W . Также W | p , W | q W | w . Значит многочлены w и W унитарные. Поэтому W = w
Для любого числа многочленов ОНД можно доказать, что для подходящих многочленов
Данная формула сохраняется для бесконечного множества многочленов. В связи с тем, что их ОНД является ОНД некоторого их конечного подмножества
ОНД ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД( p , s ), что выполняются следующие условия:
q | p, q | s q | ОНД ( p, s)
ОНД ( p, s) | p; ОНД ( p, s) | s
Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным. В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p)
Для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0
Разложение на множители
Неприводимый многочлен в кольце k [ x ] является аналогом простого числа в кольце Z . Каждый ненулевой многочлен p = можно разложить в произведение: p = * , где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1
Предположим, что k некоторое поле, p , q , s - многочлены над k . Если p = q * s , причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p , то многочлен p называется приводимым. Иначе неприводим
Кратными называются множители одинаковые. Объединяя кратные множители получим: p =
Свойства неприводимых многочленов .
1 . Если p | и p неприводим, то либо p | либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 и потому по основной теореме теории делимости ; , откуда: и значит, , то есть НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p )=0
2. Если p- неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q
В самом деле, p = d*s и если deg(s )>0, то это противоречит неприводимости p, а если deg(s )=0, то d | q p | q
Приведем несколько примеров
Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел. Многочлен над полем R вещественных чисел приводим если . В данном выражении второй множитель имеет отрицательный дискриминант. По этой причине невозможно разложить его над R . Получаем над полем C комплексных чисел: , где = - кубический корень из 1
Понятие приводимости существенно зависит от того над каким полем рассматривается многочлен
. Множитель x является кратным, остальные - простые. Следует отметить, что по определению многочлены первой степени неприводимы над любым полем