СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИ
Такие крупные проекты, как строительство дома, разработка автоматизированной системы бухгалтерского учета, изготовление станка и т.д. можно разбить на большое количество различных операций (работ). Одни операции могут выполняться одновременно, другие — только последовательно: одна операция после окончания другой. Например, при строительстве дома можно совместить во времени внутренние отделочные работы и работы по благоустройству территории, однако возводить стены можно только после того, как будет готов фундамент
Основные задачи планирования работ по осуществлению некоторого проекта:
определение времени возможного окончания как всего проекта в целом, так и отдельных работ, образующих проект;
определение резервов времени для выполнения отдельных работ;
определение критических работ, то есть таких работ, задержка в выполнении которых ведет к задержке выполнения всего проекта в целом;
управление ресурсами, если таковые имеются и т.п
Пусть некоторый проект W состоит из работ V 1 ,..., V n ; для каждой работы V k известно, или может быть достаточно точно оценено время ее выполнения t ( V k ). Кроме того, для каждой работы V k известен, возможно пустой, список ПРЕДШ( V k ) работ, непосредственно предшествующих выполнению работы V k . Иначе говоря, работа V k может начать выполняться только после завершения всех работ, входящих в список ПРЕДШ( V k )
В список работ проекта W добавим две фиктивные работы s и p , где работа s обозначает начало всего проекта W. а работа p — завершение работ по проекту W. При этом будем считать, что работа s предшествует всем тем работам v Î W, для которых список ПРЕДШ(v) пуст, иначе говоря, для всех таких работ v Î W положим ПРЕДШ(v)={s}. Положим далее ПРЕДШ(s) = Æ , ПРЕДШ( p )={v Î W: v не входит ни в один список ПРЕДШ(w)}, то есть считаем, что работе p предшествуют все те работы, которые могут выполняться самыми последними. Время выполнения работ s и p естественно положить равными нулю: t(s)=t( p )=0
Весь проект W теперь удобно представить в виде сети G =( V , E , c ). Ориентированный взвешенный граф G =( V , E , c ) называется сетью. Сеть может быть представлена матрицей весов дуг, массивами смежностей СЛЕД или ПРЕДШ, или списками СЛЕД[ v ] или ПРЕДШ[ v ]. При этом записи в списках смежности состоят из трех компонент: поля имени узла, поля веса соответствующей дуги и поля ссылки на следующую запись), где сеть G =( V , E , c ) определим по правилам:
V = W , то есть множеством узлов объявим множество работ;
E ={( v , w ) : v Î ПРЕДШ(w)}, то есть отношение предшествования задает дуги в сети;
c(v,w)=t(w)
Построенную сеть G часто называют сетевым графиком выполнения работ по проекту W. Легко видеть, что списки смежностей этой сети ПРЕДШ(v) совпадают с заданными для проекта списками предшествующих работ ПРЕДШ(v)
Очевидно, что сетевой график любого проекта не должен содержать контуров. Действительно, пусть узлы V k 1 , V k 2 ,..., V kr = V k 1 образуют контур в сети G. Это означает, что работа V k 2 не может начаться раньше, чем будет завершена работа V k 1 , работа V k 3 — раньше, чем завершится работа V k 2 , и т.д., и, наконец, V kr = V k 1 — раньше, чем будет завершена работа V kr -1 . Но тогда никакая из работ V k 1 ,..., V kr никогда не сможет быть выполнена. А каждый реальный проект должен допускать возможность его завершения. Следовательно, в сетевом графике нет контуров
Отсутствие контуров в сети G позволяет пронумеровать работы проекта W таким образом, чтобы для каждой дуги ( V i , V j ) сети G выполнялось условие i < j , то есть каждая дуга идёт из узла с меньшим номером в узел с большим номером. Осуществить такую нумерацию узлов сети G можно с помощью алгоритма топологической сортировки. Поэтому в дальнейшем будем считать, что узлы в сети G топологически отсортированы
Конечной целью построения сетевой модели является получение информации о возможных сроках выполнения, как отдельных работ, так и о возможном сроке выполнения всего проекта в целом. Обозначим через PB ЫП( v ) (соответственно PHA Ч( v )) наиболее ранний возможный срок выполнения работы v (соответственно наиболее ранний возможный срок начала работы v). Удобно считать, что PB ЫП( s )= PHA Ч( s )=0. Поскольку начать выполнять работу v можно только после того, как будут выполнены все работы, предшествующие данной работе v, то получим следующие формулы для расчета значений PHA Ч( v ) и PB ЫП( w ) :
PHA Ч( v ) = МАКС{ PB ЫП( w ): w Î ПРЕДШ(v)},
PBЫП(v)= PHAЧ(v) + t(v)
Значение PB ЫП( p ) дает наиболее ранний возможный срок завершения всего проекта в целом. Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики РНАЧ и РВЫП
Алгоритм 1.
Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v Î V
Результаты: Наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ( v ), РВЫП( v ), v Î V
Объявить возможные ранние сроки начала РНАЧ( v ) и выполнения РВЫП( v ) работ равными нулю. Текущей вершиной объявить первую вершину v k = v 1.
Всем вершинам v предшествующим текущей вершине v k , значение РНАЧ( v k ) присвоить максимум из значений РВЫП( v ) и РНАЧ( v k ). Значение РВЫП( v k ) положить равным значению РНАЧ( v k ) плюс время выполнения самой работы текущей вершины t ( v k )
Если имеется следующая вершина (работа) после текущей, то объявить ее текущей вершиной v k , иначе перейти в Шаг 5
Вернуться в Шаг 2
Выдать наиболее ранние возможные сроки начала и выполнения работ РНАЧ(v), РВЫП(v), v Î V, конец работы алгоритма
Пусть T — плановый срок выполнения проекта W. Ясно, что Т должно удовлетворять неравенству Т >= РВЫП( V n +1 )
Через ПВЫП( v ) (соответственно ПНАЧ( v )) обозначим наиболее поздний допустимый срок выполнения (начала) работы v , то есть такой срок, который не увеличивает срок Т реализации всего проекта
Значения возможных и допустимых сроков выполнения работ позволяют определить резервы времени для выполнения той или иной работы. Полный резерв (иногда его называют суммарный) времени выполнения работ определяется по формуле:
PE3EPB(v)=ПHAЧ(v)-PHAЧ(v)
Значение PE 3 EPB ( v ) равно максимальной задержке в выполнении работы v, не влияющей на плановый срок Т. Понятно, что справедливо и такое равенство: РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы, имеющие нулевой резерв времени, называются критическими. Через любую такую работу проходит некоторый максимальный s- p -путь в сети G. Критические работы характеризуются тем, что любая задержка в их выполнении автоматически ведет к увеличению времени выполнения всего проекта
Приведем запись алгоритма, непосредственно вычисляющего характеристики ПВЫП и ПНАЧ
Алгоритм 2.
Данные: Сетевой график G работ V , заданный списками ПРЕДШ( v ), v Î V , плановый срок окончания проекта – Т
Результаты: Наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v )
Объявить для всех работ v Î V значение наиболее позднего срока выполнения работ равным Т – значению планового срока окончание проекта и вершину v p фиктивной работы p объявить текущей v k
Присвоить значение ПНАЧ текущей работы v k равным значению ПВЫП работы и вычесть время выполнения текущей работы
Присвоить значению ПВЫП(v) для всех работ v Î ПРЕДШ(v) предшествующих текущей работе v k минимальное значение из значений ПВЫП выполнения роботы v или ПНАЧ выполнения текущей работы v k , если таковых нет перейти в Шаг 4
Если имеется предыдущая вершина (работа) к текущей, то объявить её текущей, иначе перейти в Шаг 6
Перейти в Шаг 2
Выдать наиболее поздние допустимые сроки выполнения и начала работ ПВЫП( v ) и ПНАЧ( v ), конец работы алгоритма
Проиллюстрируем работу приведенных алгоритмов на следующих примерах:
Пример 1 : Проект гаража для стоянки автопогрузчиков
n
Наименование работы
Предшествующие работы
Время выполнения t ( v k )
1
Начало проекта (фиктивная работа)
Нет
0
2
Срезка растительного слоя грунта
1
5
3
Монтаж каркаса
2
30
4
Обшивка стен профнастилом
3
15
5
Кровля из профнастила
3
12
6
Заполнение проема воротами
4
5
7
Масляная окраска ворот и профнастила
5,6
10
8
Щебёночное основание под полы
7
3
9
Асфальтовое покрытие
8
3
10
Уборка строительного мусора после строит
7
3
11
Конец проекта (фиктивная работа)
9,10
0
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
Действия выполняемые шагом
1
Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v Î V равными нулю. Текущая вершина v k =1
2
Вершин предшествующей первой нет
РВЫП(1)=РНАЧ(1)+ t (1). { РНАЧ(1) стало равным 0 }
3
Текущая вершина v k =2
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0}
РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5}
3
Текущая вершина v k =3
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5}
РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 35}
3
Текущая вершина v k =4
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 35}
РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 50}
3
Текущая вершина v k =5
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 35}
РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47}
3
Текущая вершина v k =6
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 50}
РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 55}
3
Текущая вершина v k =7
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47}
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 55}
РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 65}
3
Текущая вершина v k =8
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 65}
РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 68}
3
Текущая вершина v k =9
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 68}
РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 71}
3
Текущая вершина v k =10
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 65}
3
Текущая вершина v k =11
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 71}
3
Переход в Шаг 5
5
Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ
Таблица результатов работы алгоритма
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
РНАЧ( v )
0
0
5
35
35
50
55
65
68
65
71
РВЫП( v )
0
5
35
50
47
55
65
68
71
68
71
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=71. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
Действия, выполняемые шагом
1
Объявление значений ПВЫП( v ), v Î V равным Т
Текущая вершина v k =11
2
ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 71}
3
ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 71}
ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 71}
4
Текущая вершина v k =10
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 68}
3
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(7) стало равным 68}
4
Текущая вершина v k =9
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 68}
3
ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(8) стало равным 68}
4
Текущая вершина v k =8
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 65}
3
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(7) стало равным 65}
4
Текущая вершина v k =7
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 55}
3
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 55}
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 55}
4
Текущая вершина v k =6
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 50}
3
ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 50}
4
Текущая вершина v k =5
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 43}
3
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 43}
4
Текущая вершина v k =4
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 35}
3
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 35}
4
Текущая вершина v k =3
5
Переход в шаг 2
2
ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 5}
3
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
4
Текущая вершина v k =2
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
3
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
4
Текущая вершина v k =1
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
3
Переход в Шаг 4
4
Переход в Шаг 6
6
Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=ПНАЧ( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы
РНАЧ
РВЫП
ПНАЧ
ПВЫП
Резерв
1
0
0
0
0
0
2
0
5
0
5
0
3
5
35
5
35
0
4
35
50
35
50
0
5
35
47
43
55
8
6
50
55
50
55
0
7
55
65
55
65
0
8
65
68
65
68
0
9
68
71
68
71
0
10
65
68
68
71
3
11
71
71
71
71
0
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=71
Пример 2 : Проект водоснабжения и наружной канализации при застройки квартала по ул. Токарей-Синяева в г. Екатеринбурге
n
Наименование работы
Предшествующие работы
Время выполнения t ( v k )
1
Начало проекта (фиктивная работа)
Нет
0
2
Разработка грунта экскаваторами с ковшом 0.5 м 3 с погрузкой на автомобили-самосвалы
1
16
3
Зачистка дна и стенок с выкидкой грунта
2
10
4
Монтаж водопроводных колодцев
1
32
5
Монтаж плит перекрытий из легкого бетона
3
21
6
Пробивка в бетонных стенах и полах отверстий
5
5
7
Оклейка плит рубероидом и гидроизолом на нефтебитуме в 1 слой
4,5
14
8
Заделка сальников при проходе труб через фундаменты или стены подвалов
5
10
9
Монтаж скоб
6
7
10
Устройство стяжек цементных
9
5
11
Конец проекта. (фиктивная работа)
7,8,10
0
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
Действия, выполняемые шагом
1
Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v Î V равным нулю
Текущая вершина v k =1
2
Вершин предшествующей первой нет
Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1)
3
Текущая вершина v k =2
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)}{РНАЧ(2) стало равным 0}
РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 16}
3
Текущая вершина v k =3
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)}{РНАЧ(2) стало равным 16}
РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 26}
3
Текущая вершина v k =4
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(4)}{РНАЧ(4) стало равным 0}
РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 32}
3
Текущая вершина v k =5
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(5)}{РНАЧ(5) стало равным 26}
РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 47}
3
Текущая вершина v k =6
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(6)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(6)}{РНАЧ(6) стало равным 47}
РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 52}
3
Текущая вершина v k =7
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(7)}{РНАЧ(7) стало равным 47
РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 61}
3
Текущая вершина v k =8
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(5),РНАЧ(8)}{РНАЧ(8) стало равным 47}
РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 57}
3
Текущая вершина v k =9
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(9)}{РНАЧ(9) стало равным 52}
РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным }
3
Текущая вершина v k =10
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(10)}{РНАЧ(10) стало равным 59}
РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 64}
3
Текущая вершина v k =11
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 61}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало рвным 61}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(11)}{РНАЧ(11) стало равным 64}
РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 64}
3
Переход в Шаг 5
5
Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ
Таблица результатов работы алгоритма
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
РНАЧ( v)
0
0
16
0
26
47
47
47
52
59
64
РВЫП( v )
0
16
26
32
47
52
61
57
59
64
64
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=64. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
Действия, выполняемые шагом
1
Объявление значений ПВЫП( v ), v Î V равным Т
Текущая вершина v k =11
2
ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 64}
3
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(7) стало равным 64}
ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(8) стало равным 64}
ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(9) стало равным 64}
4
Текущая вершина v k =10
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)- t (10) {ПНАЧ(10) стало равным 59}
3
ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(10)} {ПВЫП(9) стало равным 59}
4
Текущая вершина v k =9
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 52}
3
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(6) стало равным 52}
4
Текущая вершина v k =8
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 54}
3
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(5) стало равным 54}
4
Текущая вершина v k =7
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 50}
3
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(5) стало равным 50}
ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(4) стало равным 50}
4
Текущая вершина v k =6
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 47}
3
ПВЫП(5)=МИН{ПВЫП(5),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(5) стало равным 47}
4
Текущая вершина v k =5
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 26}
3
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(3) стало равным 26}
4
Текущая вершина v k =4
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 18}
3
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(1) стало равным 18}
4
Текущая вершина v k =3
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 16}
3
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 16}
4
Текущая вершина v k =2
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
3
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
4
Текущая вершина v k =1
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
3
Переход в Шаг 4
4
Переход в Шаг 6
6
Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы
РНАЧ
РВЫП
ПНАЧ
ПВЫП
Резерв
1
0
0
0
0
0
2
0
16
0
16
0
3
16
26
16
26
0
4
0
32
18
50
32
5
26
47
26
47
0
6
47
52
47
52
0
7
47
61
50
64
3
8
47
57
54
64
10
9
52
59
52
59
0
10
59
64
59
64
0
11
59
64
64
64
0
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=64
Пример 3 : Проект склада сажи и других материалов в помещение производственного цеха
n
Наименование работы
Предшествующие работы
Время выполнения t ( v k )
1
Начало проекта (фиктивная работа)
Нет
0
2
Монтаж металлоконструкций нижней обвязки каркаса
1
5
3
Устройство бетона под стойки
2
3
4
Монтаж стоек
3
10
5
Монтаж опорных столиков
4
5
6
Монтаж балок
2
7
7
Монтаж металлоконструкций ворот
6
7
8
Обшивка стен и кровли волнистым листом
6
12
9
Монтаж козлового крана
7
5
10
Устройство асфальтобетонных покрытий
8
5
11
Конец проекта (фиктивная работа)
5,9,10
0
Найдем значения наиболее раннего начала и выполнения работ проекта посредством алгоритма 1. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
Действия, выполняемые шагом
1
Объявление значений РНАЧ( v ) и РВЫП( v ), v Î V равным нулю
Текущая вершина v k =1
2
Вершин предшествующей первой нет
Значение РНАЧ(1)=РВЫП(1)+ t (1)
3
Текущая вершина v k =2
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(2)=МАКС{РВЫП(1),РНАЧ(2)} {РНАЧ(2) стало равным 0}
РВЫП(2)=РНАЧ(2)+ t (2) {РВЫП(2) стало равным 5}
3
Текущая вершина v k =3
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(3)=МАКС{РВЫП(2),РНАЧ(3)} {РНАЧ(3) стало равным 5}
РВЫП(3)=РНАЧ(3)+ t (3) {РВЫП(3) стало равным 8}
3
Текущая вершина v k =4
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(4)=МАКС{РВЫП(3),РНАЧ(4)} {РНАЧ(4) стало равным 8}
РВЫП(4)=РНАЧ(4)+ t (4) {РВЫП(4) стало равным 18}
3
Текущая вершина v k =5
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(5)=МАКС{РВЫП(4),РНАЧ(5)} {РНАЧ(5) стало равным 18}
РВЫП(5)=РНАЧ(5)+ t (5) {РВЫП(5) стало равным 23}
3
Текущая вершина v k =6
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(6)={РВЫП(2),РНАЧ(6)} {РНАЧ(6) стало равным 5}
РВЫП(6)=РНАЧ(6)+ t (6) {РВЫП(6) стало равным 12}
3
Текущая вершина v k =7
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(7)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(7)} {РНАЧ(7) стало равным 12}
РВЫП(7)=РНАЧ(7)+ t (7) {РВЫП(7) стало равным 19}
3
Текущая вершина v k =8
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(8)=МАКС{РВЫП(6),РНАЧ(8)} {РНАЧ(8) стало равным 12}
РВЫП(8)=РНАЧ(8)+ t (8) {РВЫП(8) стало равным 24}
3
Текущая вершина v k =9
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(9)=МАКС{РВЫП(7),РНАЧ(9)} {РНАЧ(9) стало равным 19}
РВЫП(9)=РНАЧ(9)+ t (9) {РВЫП(9) стало равным 24}
3
Текущая вершина v k =10
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(10)=МАКС{РВЫП(8),РНАЧ(10)} {РНАЧ(10) стало равным 24}
РВЫП(10)=РНАЧ(10)+ t (10) {РВЫП(10) стало равным 29}
3
Текущая вершина v k =11
4
Переход в Шаг 2
2
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(9),РНАЧ(11)} {РНАЧ(11) стало равным 24}
РНАЧ(11)=МАКС{РВЫП(10),РНАЧ(10)}{РНАЧ(11) стало равным 29}
РВЫП(11)=РНАЧ(11)+ t (11) {РВЫП(11) стало равным 29}
3
Переход в Шаг 5
5
Конец работы алгоритма, выдача значений наиболее раннего начала и выполнения работ
Таблица результатов работы алгоритма
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
РНАЧ( v )
0
0
5
8
18
5
12
12
19
24
29
РВЫП( v)
0
5
8
18
23
12
19
24
24
29
29
Получили, что минимальное время, требуемое для выполнения проекта равно Т=РВЫП(11), Т=29. Теперь найдем посредством алгоритма 2 значение времени наиболее позднего начала и выполнения работ. Работу алгоритма изложим в виде последовательности выполняемых шагов
Шаг n
Действия выполняемые шагом
1
Объявление значений ПВЫП( v ), v Î V равным Т
Текущая вершина v k =11
2
ПНАЧ(11)=ПВЫП(11)- t (11) {ПНАЧ(11) стало равным 29}
3
ПВЫП(9)=МИН{ПВЫП(9),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(9) стало равным 29}
ПВЫП(10)=МИН{ПВЫП(10),ПНАЧ(11)}{ПВЫП(10) стало равным 29}
4
Текущая вершина v k =10
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(10)=ПВЫП(10)-t(10) {ПНАЧ(10) стало равным 24}
3
ПВЫП(8)=МИН{ПВЫП(8),ПНАЧ(10)}{ПВЫП(8) стало равным 24}
4
Текущая вершина v k =9
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(9)=ПВЫП(9)- t (9) {ПНАЧ(9) стало равным 24}
3
ПВЫП(7)=МИН{ПВЫП(7),ПНАЧ(9)}{ПВЫП(7) стало равным 24}
4
Текущая вершина v k =8
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(8)=ПВЫП(8)- t (8) {ПНАЧ(8) стало равным 12}
3
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(8)}{ПВЫП(6) стало равным 12}
4
Текущая вершина v k =7
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(7)=ПВЫП(7)- t (7) {ПНАЧ(7) стало равным 17}
3
ПВЫП(6)=МИН{ПВЫП(6),ПНАЧ(7)}{ПВЫП(6) стало равным 12}
4
Текущая вершина v k =6
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(6)=ПВЫП(6)- t (6) {ПНАЧ(6) стало равным 5}
3
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(6)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
4
Текущая вершина v k =5
5
Переход в шаг 2
2
ПНАЧ(5)=ПВЫП(5)- t (5) {ПНАЧ(5) стало равным 24}
3
ПВЫП(4)=МИН{ПВЫП(4),ПНАЧ(5)}{ПВЫП(4) стало равным 24}
4
Текущая вершина v k =4
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(4)=ПВЫП(4)- t (4) {ПНАЧ(4) стало равным 14}
3
ПВЫП(3)=МИН{ПВЫП(3),ПНАЧ(4)}{ПВЫП(3) стало равным 14}
4
Текущая вершина v k =3
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(3)=ПВЫП(3)- t (3) {ПНАЧ(3) стало равным 11}
3
ПВЫП(2)=МИН{ПВЫП(2),ПНАЧ(3)}{ПВЫП(2) стало равным 5}
4
Текущая вершина v k =2
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(2)=ПВЫП(2)- t (2) {ПНАЧ(2) стало равным 0}
3
ПВЫП(1)=МИН{ПВЫП(1),ПНАЧ(2)}{ПВЫП(1) стало равным 0}
4
Текущая вершина v k =1
5
Переход в Шаг 2
2
ПНАЧ(1)=ПВЫП(1)- t (1) {ПНАЧ(1) стало равным 0}
3
Переход в Шаг 4
4
Переход в Шаг 6
6
Конец работы алгоритма, выдача значений времени наиболее позднего начала и выполнения работ
Дадим таблицу результатов работы алгоритма с результатами предыдущего алгоритма и сосчитаем резерв времени для каждой работы по формуле PE 3 EPB ( v )=П HA Ч( v )- PHA Ч( v ) или РЕЗЕРВ(v)=ПВЫП(v)-РВЫП(v)
Работы
РНАЧ
РВЫП
ПНАЧ
ПВЫП
Резерв
1
0
0
0
0
0
2
0
5
0
5
0
3
5
8
11
14
3
4
8
18
14
24
10
5
18
23
24
29
5
6
5
12
5
12
0
7
12
19
17
24
7
8
12
24
12
24
0
9
19
24
24
29
5
10
24
29
24
29
0
11
29
29
29
29
0
Из таблицы видно, что критическими работами являются 1, 2, 6, 8, 10, 11, которые и образуют в сети G критический путь. Расчеты выполнены при Т=29
Список используемой литературы:
1. Асанов М. О. «Дискретная оптимизация», УралНАУКА, Екатеринбург 1998
|
