Сфера и шар Работа ученика 11 класса средней школы №1906 юго-западного округа г.Москвы Кашина Виталия. Сфера и шар. Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, уда­лённых от данной точки на данном расстоянии. Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диамет­ром сферы. Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, нахо­дящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Уравнение сферы. M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. след. MC= т.к. MC=R, то если т.М не лежит на сфере, то MC R, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид : Взаимное расположение сферы и плоскости. d - расстояние от центра сферы до плоскости. след. C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0 Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы. след. возможны 3 решения системы : 1) d 0 уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окруж­ность C(0;0;0) и r^2=R^2 - d^2 2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0) 3) d>R , d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0 x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений Касательная плоскость к сфере. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой ка­сания плоскости и сферы. Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­дикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости. ч.т.д. Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендику­ляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому рас­стояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере. ч.т.д. Площадь сферы: Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем не­ограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательности площадей поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вы­чесления площади сферы радиуса R : S=4ПR^2