МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова












КУРСОВАЯ РАБОТА
по вычислительной математике.
Вычисление двойных интегралов методом ячеек. Выполнил студент факультета ИиВТ, группа ИВТ-11-00
Борзов Леонид
Чебоксары-2002
Содержание. Теоретическая часть…………………………………………3 Задание………………………………………………………..4 Текст программы. ……………………………………………5 Блок-схема программы…………………….………………...6 Выполнение программы в математическом пакете………..7 Список использованной литературы……………………......8 Теоретическая часть. Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида I= (1) Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: , .По теореме о среднем найдём среднее значение функции f(x,y): S=(b-a)(d-c). (2) O


b

a

c


d

x

y

Рис. 1


Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е. . Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла: (3) Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки D ij (рис. 1): xi-1 i (i=1,2,…,M), yi-1 i (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим òòDGijf(x,y)dxdy»¦( )DxiDyi. Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла: I, j) (4) В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x,y). Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением Rij» DxiDyj . Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде O(Dx2+Dy2). Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M/N остаётся постоянным. Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника: , . Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены , . Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.
Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область, ограниченная функциями .
Текст программы. #include #include float f(float,float); void main() { const float h1=.0005,h2=.001; float s1,x,y,i,I; clrscr(); s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for(i=0;i<1/h2;i++) { while (y<2*x-1) { I+=s1*f(x,y); x-=h1; } y+=h2; x=1-h1/2; } cout<<"Площадь интеграла равна: "<
Начало

h1=0.0005 h2=0.001

Очистка экрана

s1=h1*h2

I=0

y=h2/2

i=0

i<1/h2

y<2x-1

I=I+s1*f(x,y)

x=x-h1

1

2

3

y=y+h2

x=1-h1/2

i=i+1

Вывод: «Площадь интеграпа равнв:», I

1

2

Конец

3

Выполнение программы в математическом пакете. h1=.0005; h2=.001; s1=h1*h2; I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for i=1:1/h2 while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y); x=x-h1; end y=y+h2; x=1-h1/2; end disp('Площадь интеграла равна:'); disp(I); В зависимости от шагов сетки получаем с различной точностью значение искомого интеграла Площадь интеграла равна: 0.2190 Список использованной литературы. 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1 – М.: Наука. 1975. 2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. 3. Калиткин Н.Н Численные методы. – М.: Наука, 1978. 4. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.