Государственный университет управления Институт заочного обучения Специальность – менеджмент КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине: Высшая математика. Вариант № 1. Выполнил студент Ганин Д.Ю. Студенческий билет № 1211 Группа № УП4-1-98/2 Москва, 1999 г. Содержание Часть I.________________________________________________________ 3 Задание №2. Вопрос №9.________________________________________________________ 3 Задание №3. Вопрос №1.________________________________________________________ 3 Задание №12. Вопрос №9._______________________________________________________ 5 Задание №13. Вопрос №2._______________________________________________________ 5 Задание №18. Вопрос №9_______________________________________________________ 6 Часть II._______________________________________________________ 9 Задание №8. Вопрос №8.________________________________________________________ 9 Задание №12. Вопрос №9.______________________________________________________ 10 Задание №14. Вопрос №2.______________________________________________________ 10 Задание №15. Вопрос №6.______________________________________________________ 11 Задание №18. Вопрос №9.______________________________________________________ 12 Дополнительно Часть I._______________________________________ 13 Задание №7. Вопрос №1._______________________________________________________ 13 Задание №9. Вопрос №8._______________________________________________________ 13 Задание №11. Вопрос №6.______________________________________________________ 14 Задание №15. Вопрос №1.______________________________________________________ 15 Дополнительно Часть II._______________________________________ 15 Задание №7. Вопрос №1._______________________________________________________ 15 Задание №9. Вопрос №8._______________________________________________________ 16 Задание №11. Вопрос №6.______________________________________________________ 18 Задание №15. Вопрос №1.______________________________________________________ 18 Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта. Решение:
машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
Ответ:
Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.
Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если , . Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0):С осью OQ (P=0):
Для Q=QS(P):Для Q=QD(P):

Рисунок 1. График функции спроса и предложения.

Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1). Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему: , из этой системы получаем: , тогда , значит координаты т.M . Ответ:
Координаты точки равновесия равны ,

Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций: Решение:
Ответ:
Производная заданной функции равна
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение числа:
Решение:
Ответ:
Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9
Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
1. Область определения данной функции: . 2. Найдем точки пересечения с осями координат: С осью OY :С осью OX :
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
Точка пересечения: Точки пересечения: ,
3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ. 4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где: т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты. 5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную: Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. : Рисунок 2. Исследование на экстремум.

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции. На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает. На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.). Следовательно - точка максимума заданной функции . 6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную: Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. : , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда Отсюда , . Рисунок 3. Исследование на выпуклость.

На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции. На участке производная >0, значит это тоже участок вогнутости графика функции. Следовательно, при график заданной функции является вогнутым. На участке производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3). Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции . Рисунок 4. График заданной функции


Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4). Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах и . Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль. , , Решение:
Пусть - функция прибыли, тогда Найдем первые частные производные функции : , . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему: Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого введем обозначения: , , , тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная: Ответ:
и достигается при объемах выпуска и .
Задание №12. Вопрос №9.
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:

Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) . Решение:
Ответ:
Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.
Решить уравнение
Решение:
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда Ответ:
Решением данного уравнения является .

Задание №18. Вопрос №9.
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда фундаментальную систему решений образуют функции: , Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида: . Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения: , , Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему: , отсюда . Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: . Ответ:.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел: . Решение:
. Ответ:
Заданный предел равен .
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики: . Решение:
1. Область определения данной функции: . 2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты. 3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где: Рисунок 5. Графики асимптот функции

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид: . Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем точки пересечения наклонной асимптоты с осями координат: С осью OX: точка , с осью OY: точка Ответ:
и – уравнения асимптот заданной функции.
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите: . Решение:
Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : . Следовательно . Ответ:.
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: . Решение:
. Ответ:
Заданный предел равен .
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: . Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим: . Ответ:
Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид .

Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области: . Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области. Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему: , точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа: 1. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: Эта система имеет четыре решения: , , Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, , Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, , Точка – точка условного минимума, при этом функция .
, , Точка – точка условного минимума, при этом функция .
2. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: Эта система также имеет четыре решения: , , Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, , Точка – точка условного максимума, при этом функция .
, , Точка – точка условного минимума, при этом функция .
, , В точке – точка условного минимума, при этом функция .
Рисунок 6. График наибольших/наименьших значений функции при .

Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций и касаются окружности в точках , и , соответственно (см. рис.6). Ответ:
Заданная функция при условии имеет и .

Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл: . Решение:
Ответ:
Заданный неопределенный интеграл равен .
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение: . Решение:
. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение: . Ответ:
Решением данного уравнения является .