1. Задание предполагает проведение трех серий экспериментов, предварительную обработку результатов наблюдений, корректировку данных и статистические расчеты . 1.1. На плоской горизонтальной поверхности укладывается лист бумаги с первым квадрантом координатной сетки и обозначается точкой «А», имеющей координаты (X,Y) или (R, j) . 1.2. Проводятся три эксперимента : Эксперимент №1 : С расстояния около полуметра на первый лист бумаги в направлении точки А(x, y) сбрасывается заостренный предмет с целью попадания в эту точку. Координаты отметины записываются в таблицу №1. A(x,y)=A(60,60) таблица №1. n12345
X6461576357
Y6865676260
Эксперимент №2 : С расстояния около одного метра на второй лист бумаги в направлении точки А(X,Y) сбрасывается заостренный предмет с целью попадания в эту точку. Координаты отметины записываются в таблицу №2. A(R,j)=A(60,60) таблица №2. N12345678910
R101 9910185129 92 83 82112 70
j664949855455525151 43
N11121314151617181920
R 64 44 60 68 96 77 90102 77 93
j44263525435743595053
Эксперимент №3 : С расстояния около двух метров на третий лист бумаги в направлении точки А(X,Y) сбрасывается заостренный предмет с целью попадания в эту точку. Координаты отметины записываются в таблицу №3. A(X,Y)=A(60,60) таблица №3. N12345678910
X55 100 8351 68 75191 63 76 56
Y1098882907610347399080
N11121314151617181920
X 6185 5949 25 61 4555 75 58
Y73707175608975758380
N21222324252627282930
X 7785 49 96 608854 78 5955
Y81848391110361019810080
N31323334353637383940
X 714856 67 4855 56 71 4135
Y67807490926060606149
N41424344454647484950
X 55 35 6260 8466 63 32 70 67
Y84704555678491598345
2.Обработка и анализ полученных данных. Рассчитать для переменных (X,Y) и (R, j) для всех серий среднее арифметическое отклонение от среднего, оценку дисперсии , СКО. 2.1.1. Для Эксперимента №1: среднее арифметическое: Xx=60,4 Xt=64,4 среднее арифметическое отклонение от среднего: таблица №4. N12345
Di X3,6 0,6 -3,4 2,6 -3,4
DiY3,6 0,6 2,6 -2,4-4,4
оценка дисперсии: D(xi) X=10,8 D(xi)Y =11,3 средне квадратическое отклонение: sX=3,28 sy=3,36 2.1.2. Для Эксперимента №2: среднее арифметическое: XR =87,5 Xj=47,95 среднее арифметическое отклонение от среднего: таблица №5. N12345678910
DiR13,511,513,5 22,541,5 4,5-4,5-5,5 -24,5-17,5
Dij8,051,051,0516,056,057,054,05-8,7 -3,05-4,95
N11121314151617181920
DiR-23,5-43,5-27,5-19,5-8,510,52,514,5-10,5 5,5
Dij-3,95-22 -13 -23-4,959,05-4,9511,052,05 5,05
оценка дисперсии: D(xi)R=411,7 D(xi)j= 102,3 средне квадратическое отклонение: sК =20,29 sf =10,11 2.1.3. Для Эксперимента №3: среднее арифметическое: XX=62,02 XY=75,72 среднее арифметическое отклонение от среднего: таблица №6. N12345678910
DiX-7,0237,9820,98-11 5,9812,98-4,020,9813,98-6,02
DiY33,3 12,286,28 14,280,2827,28-37,72-36,7214,284,28
N11121304151617181920
DiX-1,0222,98-3,02-13 -37 -1,02-17-7,0212,98-23
DiY-2,72-5,72-4,72-0,72-15,713,28-0,72-0,727,284,28
N21222324252627282930
DiX14,9822,98-13,02-13,02-2,0225,98-8,0215,98-3,02-7,02
DiY 5,288,287,2815,2834,28-39,7 25,2822,2824,284,28
N31323334353637383940
DiX8,98-14 -6,024,98-14 -7,02-6,02-8,98-21-27
DiY-8,724,28 -1,7214,2816,28-15,7-15,7-15,7-14,7-26,7
N41424344454647484950
DiX-7,02-27 -0,02-2,0221,983,98 0,98-30 7,98 4,98
DiY8,28-5,72-30,7-20,7 -8,728,28 15,28-16,77,28 -30,7
оценка дисперсии: D(xi) X=247,77 D(xi)Y =320,88 средне квадратическое отклонение: X=15,7 y=17,27 2.2 Провести отсев промахов для всех серий. 2.2.1 Для Эксперимента №1: По критерию Шовенье : при n=5 , КШ=1.65, sX=3,28 sy=3,36 КШsX =1,65*3,28= 5,577 КШsY =1,65*3,36 = 5,544 промахов необнаружено. 2.2.2 Для Эксперимента №2: По критерию Шарлье : при n=20 , КШ=1.99, sК =20,29 sf =10,11 КШsК =1,99*20,29= 40,3771 т.о. №5 и №12 (табл.№5) -промах КШsf =1,99*10,11= 20,1189 т.о. №12 (табл.№) -промах Проводим ещё одну корректировку оценок(пересчитываем!!!). среднее арифметическое: XR =87,6 Xf=48,8 среднее арифметическое отклонение от среднего: Di= xi-x таблица №7. N12345678910
DiR13,411,3913,3922,39Промах4,38-4,6-5,6 24,38-17,6
Dij7,170,1670,16715,17Промах6,163,162,12,16-5,83
N11121314151617181920
DiR-23,6Промах-27,6-19,6-8,38-10,62,314,39-10,65,38
Dij-4,83Промах-13,8-23,8-5,838,167-5,8310,171,1674,167
оценка дисперсии: D(xi)R=247,54 D(xi)f=83,08 средне квадратическое отклонение: sR =15,73 sf =9,11 По критерию Шарлье : при n=20 , КШ=1.99, sR =15,73 sf =9,11 КШsR =1,99*15,73= 31,30 КШsf =1,99*9,11=18.12 т.о. промахов нет!!!!!!! 2.2.3 Для Эксперимента №3: По критерию Шарлье : при n=50 , КШ=2.32 X=15,7 y=17,27 КШsЧ =2.32*15,7= 36,424 т.о. №15 (табл.№6) -промах КШsН =2.32*17,27= 40,066 -промахов нет. Проводим ещё одну корректировку оценок(пересчитываем!!!). среднее арифметическое: XX =62,77 XY=76,04 среднее арифметическое отклонение от среднего: Di= xi-x таблица №8. N12345678910
DiX-7,7831,2220,22-11,85,22412,22-4,770,2213,2-6,77
DiY33 11,965,9513,96-0,0426,9538,04-37,0413,953,95
N11121304151617181920
DiX-1,7822,22-3,7813,8Промах-1,78-17,8-7,78-1-23
DiY-3,04-6,04 -5,041,04Промах12,96-1,04-1,046,953,95
N21222324252627282930
DiX14,2222,22-13,7-13,7-2,7825,22-8,7815,22-3,78-7,78
DiY4,95 7,956,9514,9533,96-40 24,9621,9623,963,959
N31323334353637383940
DiX8,22-14,8-6,784,224-14,8-7,78-6,788,224-21.8-27,8
DiY-9,043,959-2,0413,9615,96-16 -16-16 -15-27
N41424344454647484950
DiX-7,78-27-0,78-2,7821,223,2240,224-30,87,2244,224
DiY7,959-6,04-31 -21 -9,047,95914,96-17 6,595-31
оценка дисперсии: D(xi) X=224,29 D(xi)Y=322,28 средне квадратическое отклонение: sX=14,82 sY=17,65 По критерию Шарлье : при n=50 , КШ=2.32 sX=14,82 sY=17,65 КШsX =2.32*14,82= 34,3824 КШsY =2.32*17,65= 40,948 т.о. промахов нет. 2.3 Способом последовательных разностей определить наличие систематических погрешностей для всех серий. Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений , т.е. имелась временная систематическая погрешность , величина дисперсии (D ) даёт преувеличенную оценку дисперсии . Величина Aq=Di(xi)/ D(xi) называется критерием Аббе . Если полученное значение А< Аq , то существует систематическое смещение результатов измерений численное значения критерия Аббе. 2.3.1 Для Эксперимента №1: Di(xi)X=13,25 D(xi) X=10,8 Di(xi)Y =5,25 D(xi) Y =11,3 AqX=13,25/10,8= 1,22 AqY=5,25/11,3= 0,46 таблица №9. N12345
(xi+1 - xi) X-3-56-6-
(xi+1 - xi) Y-32 -5-2-
X(мм)6461 57 63 57
Y(мм)68 65676260
2.3.2 Для Эксперимента №2: Di(xi)R=113.972 D(xi)X=247,54 Di(xi)f= 84.528 D(xi)Y=83,08 AqX=113,9/247,54=0,46 AqY=84,528/83,08=1,01 таблица №10. N12345678910
(xi+1 - xi) R-22-167Промах-9-130-42-6
(xi+1 - xi) j-17016-30Промах-3-1 0-81
R1019910185Промах92 83 8211270
j66494985Промах5552515143
N11121314151617181920
(xi+1 - xi) R-4Промах-828932-7-1
(xi+1 - xi) j-9Промах-101814-1416-193
R64Промах60 68 96 77 9010277 93
j44Промах3525435743595053
2.3.3 Для Эксперимента №3: Di(xi)X=231.875 D(xi) X=224,29 Di(xi)Y =218.458 D(xi)Y=322,28 AqR=231,875/224,29= 1,033 Aqj=218,458/322,28= 0,677 таблица №11. N12345678910
(xi+1 - xi) X-45-17-32177-17513-205
(xi+1 - xi)Y-21-68-1427-56-851-10-7
X(мм)55 100 8351 687558637656
Y(мм)1098882907610347399080
N11121314151617181920
(xi+1 - xi)X24-26-1012Промах-1610-20-1719
(xi+1 - xi)Y-31414Промах-1408-31
X(мм) 6185 5949Промах61455575 58
Y(мм)73707175Промах8975758380
N21222324252627282930
(xi+1 - xi) X8-3647-36183424-19-416
(xi+1 - xi)Y3-1819-7465-32-20-13
X(мм)7785 49 96-74885478 5955
Y(мм)81848391110361019810080
N31323334353637383940
(xi+1 - xi)X-2389-197115-30-620
(xi+1 - xi)Y13-6162-32001-2235
X(мм)714856 674855 56 71 4135
Y(град)67807490926060606149
N41424344454647484950
(xi+1 - xi)X-2027-224-1811-3138-3
(xi+1 - xi)Y-14-2510121713-3224-38
Xмм)55356260846663 32 70 67
Y(мм)84704555678491598345
2.4 В третьей серии разбить все результаты на 5 групп и выявить наличие оценок серии. N12345678910
(xi+1 - xi)X-45-17-32177-17513-20
(xi+1 - xi)Y-21-68-1427-56-851-10
X(мм)55 100 8351 687558637656
Y(град)1098882907610347399080
Di(xi)X=253.278 D(xi)X=506.556 Di(xi)Y =409.278 D(xi)Y=818.556 AqX=253.278/506.556= 0,5 При погрешности 0,05 существует смещение AqY=409.278/818,556= 0,5 При погрешности 0,05 существует смещение N111213141617181920
(xi+1 - xi)X24-26-1012-1610-20-17
(xi+1 - xi)Y-31414-1408-3
X(мм) 6185 594961455575 58
Y(мм)737071758975758380
Di(xi)X=181.5 D(xi) R=363 Di(xi)Y=35.071 D(xi) j=70.143 AqX= 5,175 При погрешности 0,05 существует смещение AqY= 5,1752 При погрешности 0,05 существует смещение N21222324252627282930
(xi+1 - xi)X8-3647-36183424-19-4
(xi+1 - xi)Y3-1819-7465-32-20
X(мм)7785 49 96-74885478 5955
Y(мм)81848391110361019810080
Di(xi)X=405.444 D(xi) X=810.889 Di(xi) Y =586.056 D(xi) Y=1172 AqX= 0,499 При погрешности 0,05 существует смещение AqY= 0,50 При погрешности 0,05 существует смещение N31323334353637383940
(xi+1 - xi)X-2389-197115-30-6
(xi+1 - xi)Y13-6162-32001-22
X(мм)714856 674855 56 71 4135
Y(мм)67807490926060606149
Di(xi)R=124.778 D(xi)X=249.556 Di(xi) j =109.667 D(xi)Y=219.333 AqR= 0,50 При погрешности 0,05 существует смещение Aqj= 0,50 При погрешности 0,05 существует смещение N41424344454647484950
(xi+1 - xi)X-2027-224-1811-3138-3
(xi+1 - xi)Y-14-2510121713-3224-38
X(мм)55356260846663 32 70 67
Y(мм)84704555678491598345
Di(xi)X=253.778 D(xi) X=507.556 Di(xi)Y=253.722 D(xi) Y=507.444 AqR= 0,5 При погрешности 0,05 существует смещение Aqj=0,5 При погрешности 0,05 существует смещение Ансамбль значений разбивается по правилу Штюргеса с округлением до целого нечётного числа. В каждом интервале определяется количество (частота) попавших значений и строится вариационный ряд в виде таблицы. таблица №12. N12345678910
DiX-7,7831,2220,22-11,85,22412,22-4,770,2213,2-6,77
DiY33 11,965,9513,96-0,0426,9538,04-37,0413,953,95
N11121304151617181920
DiX-1,7822,22-3,7813,8Промах-1,78-17,8-7,78-1-23
DiY-3,04-6,04 -5,041,04Промах12,96-1,04-1,046,953,95
N21222324252627282930
DiX14,2222,22-13,7-13,7-2,7825,22-8,7815,22-3,78-7,78
DiY4,95 7,956,9514,9533,96-40 24,9621,9623,963,959
N31323334353637383940
DiX8,22-14,8-6,784,224-14,8-7,78-6,788,224-21.8-27,8
DiY-9,043,959-2,0413,9615,96-16 -16-16 -15-27
N41424344454647484950
DiX-7,78-27-0,78-2,7821,223,2240,224-30,87,2244,224
DiY7,959-6,04-31 -21 -9,047,95914,96-17 6,595-31
внутрисерийная дисперсия: D(xi)X=198.063 D(xi)Y=328.521 средне квадратическое отклонение: sX = 14,073 sY = 18,1251 межсерийная дисперсия: D(xi) X=9507/4=2377 D(xi)Y=15769/4=3942 sX = 48,75 sY = 62,78 2.5 Ансамбль результатов эксперимента по каждой серии разбить на интервалы, определить абсолютную, относительную и относительные накопленные частоты. Для эксперимента №1 : X(мм):57,57,61,63,64 Y(мм):60,62,65,67,68
- абсолютная частота - количество попаданий в интервал : nабс1X=2 nабс1Y=1 nабс2X=2 nабс2Y=2 nабс3R=1 nабс3Y=2 - относительная частота : nотн1X=0,4 nотн1Y=0,2 nотн2X=0,4 nотн2Y=0,4 nотн3X=0,2 nотн3Y=0,4 - относительная накопленная частота : nотн.накX=1 nотн.накY=1 Для эксперимента №2 : К:60,64,68,70,77,77,82,83,92,93,96,99,101,101,102 f:35,43,43,43,44,49,49,51,51,52,53,55,56,57, A(R,j)=A(84,45) Rj
n абсолютная частота - количество попаданий в интервал : nабс1R=2 nабс2R=2 nабс3R=4 nабс4R=2 nабс5R=2 nабс6R=3 относительная частота : nотн1R=0.1, nотн 2R=0.1, nотн 3R=0,2, nотн 4R=0,1 nотн 5R=0,1 nотн 6R=0,16 относительная накопленная частота : nотн.накR=0.76, абсолютная частота - количество попаданий в интервал : nабс1j=1 nабс2j=4 nабс3j=5 nабс4j=5 nабс5j=3 относительная частота nотн1j= 0,05, nотн 2j=0.2, nотн 3j=0.27, nотн 4j=0.27, nотн 5j=0,16 относительная накопленная частота : nотн.накj= 0,95 Для эксперимента №3 : A(X,Y)=A(60,60) X: 32,35,35,41,45,48,48,49,49,51,54,55,55,55,55,55,56,56,56,58,58,59,59,60,60,61,61,62,63,63,66,67,67,68,70,71,71,75,75,76,77,78,83,84,85,88,96,100 Y: 36,38,39,45,45,49,55,59,60,60,60,61,67,67,70,70,71,73,74,75,75,75,76,80,80,80,80,81,82,83,83,83,84,84,84,88,89,90,90,91,91,92,98,100,101,103,109,110
абсолютная частота - количество попаданий в интервал : nабс1X=3 nабс2X=2 nабс3X=6 nабс4X=17 nабс5X=7 nабс6X=5 nабс7X=4 nабс8X=1 nабс9X=1 - относительная частота : nотн1X= 0,06 nотн 2X= 0,04 nотн 3X= 0,12 nотн 4X= 0,32 nотн 5X= 0,14 nотн6X=0,102 nотн 7X= 0,081 nотн 8X= 0,02 nотн 9X= 0,02 относительная накопленная частота : nотн.накX= 0,903 абсолютная частота - количество попаданий в интервал : nабс1X=3 nабс2X=3 nабс3X=2 nабс4X=7 nабс5X=8 nабс6X=10 nабс7X=10 nабс8X=2 nабс9X=3 nабс9X=2 - относительная частота : nотн1Y= 0,061 nотн 2Y= 0,061 nотн 3Y= 0,04 nотн 4Y= 0,14 nотн 5Y= 0,163 nотн6Y= 0,2 nотн 7Y= 0,2 nотн 8Y= 0,04 nотн 9Y= 0,061 nотн 9Y= 0,04 относительная накопленная частота : nотн.накY= 0,98 2.7 Провести проверку нормальности распределения результатов по полученным данным. Для выборки, имеющей приближенно нормальный вид должно выполняться соотношение : , где : Vср - среднее абсолютное отклонение от среднеарифметического n - число наблюдений D(xi) - несмещенная оценка дисперсии Для эксперимента №1 : Vср X =0 Vср Y=0 D(xi) X=10.8 D(xi) Y =11.3 Нормальность распределения подтверждается и отпадает необходимость пересчитывать исходные данные и приводить их к нормальному виду. Для эксперимента №2 : Vср R =0 Vср.j=0 D(xi)X=247,77 D(xi)Y=320,88 Нормальность распределения подтверждается и отпадает необходимость пересчитывать исходные данные и приводить их к нормальному виду. Для эксперимента №3 : Vср X =128/49=2.61 Vср Y=76.04/49=1.55 D(xi) X=224.29 D(xi) Y=322.28 Нормальность распределения подтверждается и отпадает необходимость пересчитывать исходные данные и приводить их к нормальному виду. 2.8 Учитывая, что в первой серии проводились всего 5 наблюдений, определить коэффициент Стьюдента, рассчитать оценки доверительные интервалы при уровне значимости 0,5%. n=5 a=0,995 XX =60.4 XY=64.4 s = 0,005 Определяем среднеквадратическую погрешность серии измерений : Задаваясь значением a из таблицы находим значение t a , t a= 2.10 Во второй серии проводились косвенные измерения пересчитать оценки в размерность соответствующую первой и третьей сериям. X = Rcos(j) Y = Rsin(j) таблица №13. N12345678910
X56646648Промах5351517051
Y857677100Промах7666658848
N11121314151617181920
X46Промах5462704266524955
Y45Промах3929676562886075
среднее арифметическое: XX= 55,88 XY= 67,27 среднее арифметическое отклонение от среднего: Di= xi-x таблица №14. N12345678910
DiX0,1118,11110,11-7,8Промах-2,88-4,88-4,8814,11-4,8
DiY17,728,7229,72232,72Промах8,722-1,27-2,2720,72-19
N11121314151617181920
DiX-9,88Промах-1,886,11114,11-13,810,11-3,88-6,88-0,8
DiY-22,2Промах-28,2-38,2-0,27-2,27-5,2720,72-7,277,72
оценка дисперсии: D(xi) X= 70.588 D(xi)Y = 338.235 средне квадратическое отклонение: sX = 8,40 sY = 18,39 2.11Оценить равноточность всех серий эксперимента Рассчитать оценки результатов наблюдений для эксперимента в целом. Для каждого ряда значений, полученных при проведении n1 и n2 наблюдений вычисляют оценки дисперсий. Затем вычисляют критерий Романовского : где : Результаты наблюдений n1 и n2 считаются равноточными, если критерий Романовского меньше трех, т.е. R < 3. Для эксперимента №1 : qX = 0,5 s[ q ]=0.5 qY = 0,5 R=[ 0,5 -1]/0.5= -1 Для эксперимента №2 : D1(xi)R=411,7 D1(xi)j=102.3 D2(xi)R=247,54 D2(xi) j=83,08 qX = 1.56 s[ q ]=0.503 qj = 0,972 RR=0.982 Rj= -0.056 Для эксперимента №3 : D1(xi) X=247.77 D1(xi) Y=320.88 D2(xi) X=224,29 D2(xi) Y=322,28 qX =1.037 s[ q ]=0,293 qY =0.935 RX= 0.074 RY=-0.129 Вывод : Результаты наблюдений считаем равноточными, т.к. критерий Романовского меньше трех, т.е. R < 3.
|
